|
|
Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń opisywana przez geometrię euklidesową[1]. Model ten stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznej, jeśli za jej pomocą opisuje się odległości makroskopowe.
Nie nadaje się do opisu przestrzeni fizycznej w odległościach bardzo małych, atomowych, gdy rolę zaczynają odgrywać efekty kwantowe lub w pobliżu masywnych obiektów astronomicznych, jak Słońce, czarne dziury – gdy rolę zaczynają grać efekty zakrzywienia przestrzeni i geometria staje się nieeuklidesowa.
Jednowymiarową przestrzeń euklidesową nazywa się prostą euklidesową, a dwuwymiarową – płaszczyzną euklidesową.
Przestrzenie euklidesowe nazywa się również afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi, w odróżnieniu od liniowych przestrzeni euklidesowych, nazywanych też przestrzeniami unitarnymi.
Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się inne przestrzenie, które nie są euklidesowe. Np. sfera jest przestrzenią nieeuklidesową, gdyż kąty trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni, inaczej niż na płaszczyźnie euklidesowej.
Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.
Podejście klasyczne do geometrii
Osobny artykuł: geometria euklidesowa.
Około 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.
Euklides sformułował geometrię następująco:
(1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii):
punktu, prostej, płaszczyzny,
należenia punktu do prostej (zob. incydencja), należenia prostej do płaszczyzny itd.
(2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.
Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy. Geometrię można rozszerzać wprowadzając nowe pojęcia pierwotne (obok pojęć punktu, prostej i płaszczyzny) oraz wprowadzając relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych”, przy czym miarą jest tu wymiar obiektu.
Rozwijanie geometrii w powyżej omówiony sposób czasem okazuje się problematyczne – gdyż niekiedy trudno jest spójnie definiować kolejne pojęcia pierwotne i zależności między nimi. Z tego powodu dziś zamiast odwoływać się do niezupełnego systemu Euklidesa korzysta się z algebry i analizy (zobacz geometria syntetyczna, geometria analityczna).
Grupa przekształceń obiektów geometrycznych
W geometrii Euklidesa istnieją trzy zasadnicze przekształcenia płaszczyzny:
przesunięcie (translacja), polegające na przemieszczeniu wszystkich punktów płaszczyzny o tę samą odległość w ustalonym kierunku,
obrót wokół ustalonego punktu wszystkich punktów płaszczyzny,
odbicie wokół osi.
Dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) definiuje się jako równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą przesunięć, obrotów i odbić.
Obroty, przesunięcia i translacje tworzą grupę przekształceń.
Aby uzyskać precyzyjny opis geometryczny powyżej omówionych przekształceń trzeba zdefiniować takie pojęcia jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie równoległe), prostopadłość, kąt, obrót, odbicie.
Współczesna definicja płaszczyzny euklidesowej
Współcześnie płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną uzupełnioną o iloczyn skalarny. W takim ujęciu płaszczyzna euklidesowa jest traktowana jako zbiór punktów, których wzajemnie zależności da się wyrazić jedynie za pomocą pojęć odległości i kąta. Przy tym:
punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej,
wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom,
iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.
Opisanie płaszczyzny euklidesowej w ten sposób sprawia, że rozszerzenie geometrii na dowolne wymiary jest proste: definicje pojęć, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków).
Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nazywane hiperprzestrzeniami).
Często w rozważaniach geometrycznych pomija się mówienie o przestrzeni afinicznej, koncentrując opis na przestrzeni liniowej, która ma ustalony punkt początkowy. Np. przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku. Jednak przestrzeń afiniczną można zawsze wprowadzić w danej przestrzeni liniowej poprzez pominięcie wskazania jej punktu początkowego.
Dalsza część artykułu poświęcona jest współczesnemu ujęciu geometrii, niezbędnemu przy uogólnianiu geometrii Euklidesa na wyższe wymiary.
|
Zablokowano
