Wstęga Möbiusa >;P

[Lothar.]

To pasek np papieru sklejony z obrotem o180% Pasek ma 2 strony, Wstęga Möbiusa tylko jedną stronę :) Zagadka forumowa brzmi: Gdzie się podziała druga strona paska po sklejeniu w Wstęgę Möbiusa?



Wstęga Möbiusa – szczególna powierzchnia jednostronna opisana niezależnie[1] przez niemieckich matematyków Augusta Möbiusa[1][2][3] i Johanna Benedicta Listinga[1][4] w 1858 roku[1][5][6]: trójwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna, nieorientowalna z brzegiem.

Jej model można uzyskać, sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°[7][8][9][10]. Stylizowana wstęga Möbiusa jest symbolem recyklingu[11]; w innej stylizacji jest obecna w logotypie Międzynarodówki humanistycznej. W sztuce znana jest z grafiki Mauritsa Cornelisa Eschera przedstawiającej mrówki idące po wstędze Möbiusa[12].

Wstęga Möbiusa przy odpowiednim ułożeniu przypomina symbol nieskończoności ∞ , {\displaystyle \infty ,} \infty, co może prowadzić do błędnych przypuszczeń, że symbol ten pochodzi od wstęgi Möbiusa[a].

    Symbol recyklingu

    Logo Międzynarodówki humanistycznej

Spis treści

    1 Konstrukcje
    2 Własności topologiczne
    3 Rozcinanie wstęgi Möbiusa
    4 Zobacz też
    5 Uwagi
    6 Przypisy
    7 Linki zewnętrzne

Konstrukcje
Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot
Wykres parametryczny

Relacja równoważności

     Zobacz też: relacja równoważności i topologia ilorazowa.

Wstęgę Möbiusa można skonstruować z prostokąta [ 0 ; a ] × [ 0 ; b ] {\displaystyle [0;a]\times [0;b]} {\displaystyle [0;a]\times [0;b]} wprowadzając relację ( x , 0 ) ∼ ( a − x , b ) {\displaystyle (x,0)\sim (a-x,b)} {\displaystyle (x,0)\sim (a-x,b)} dla 0 ⩽ x ⩽ a , {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant a,} {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant a,} która utożsamia dwie przeciwległe krawędzie, wraz z topologią ilorazową względem relacji ∼ {\displaystyle \sim } \sim [14].

Parametryzacja

     Zobacz też: równanie parametryczne.

Innym sposobem jest określenie parametryzacji tej powierzchni[10]. Niech dany będzie odcinek A B {\displaystyle AB} AB długości 2 a {\displaystyle 2a} 2a i środku C {\displaystyle C} C poruszający się w przestrzeni R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} {\mathbb {R}}^{3} o początku układu O {\displaystyle O} O w ten sposób, że punkt C {\displaystyle C} C zakreśla okrąg sparametryzowany równaniami:

    x ( u ) = r cos ⁡ u , {\displaystyle x(u)=r\cos u,} {\displaystyle x(u)=r\cos u,}
    y ( u ) = r sin ⁡ u , {\displaystyle y(u)=r\sin u,} {\displaystyle y(u)=r\sin u,}
    z ( u ) = 0 , {\displaystyle z(u)=0,} {\displaystyle z(u)=0,}

gdzie 0 ⩽ u ⩽ 2 π {\displaystyle 0\leqslant u\leqslant 2\pi } {\displaystyle 0\leqslant u\leqslant 2\pi }[10]. Niech odcinek A B {\displaystyle AB} AB będzie stale prostopadły do O C , {\displaystyle OC,} {\displaystyle OC,} a kąt nachylenia tego odcinka do płaszczyzny { ( x , y , z ) ∈ R 3 : z = 0 } {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon z=0\}} {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon z=0\}} niech równa się u 2 {\displaystyle {\tfrac {u}{2}}} {\displaystyle {\tfrac {u}{2}}}[10]. Wtedy odcinek A B {\displaystyle AB} AB zakreśla wstęgę Möbiusa o parametryzacji:

    x ( u , v ) = r cos ⁡ u − v sin ⁡ u 2 sin ⁡ u , {\displaystyle x(u,v)=r\cos u-v\sin {\tfrac {u}{2}}\sin u,} {\displaystyle x(u,v)=r\cos u-v\sin {\tfrac {u}{2}}\sin u,}
    y ( u , v ) = r sin ⁡ u + v sin ⁡ u 2 cos ⁡ u , {\displaystyle y(u,v)=r\sin u+v\sin {\tfrac {u}{2}}\cos u,} {\displaystyle y(u,v)=r\sin u+v\sin {\tfrac {u}{2}}\cos u,}
    z ( u , v ) = v cos ⁡ u 2 , {\displaystyle z(u,v)=v\cos {\tfrac {u}{2}},} {\displaystyle z(u,v)=v\cos {\tfrac {u}{2}},}

gdzie 0 ⩽ u < 2 π {\displaystyle 0\leqslant u<2\pi } {\displaystyle 0\leqslant u<2\pi } oraz − a ⩽ v ⩽ a {\displaystyle -a\leqslant v\leqslant a} {\displaystyle -a\leqslant v\leqslant a}[10]. Zmiana parametru u {\displaystyle u} u powoduje poruszanie punktu wzdłuż wstęgi, zmiana parametru v {\displaystyle v} v – w poprzek.
Własności topologiczne

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w przestrzeni trójwymiarowej. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną[1][15][10]. W przypadku gładkich parametryzacji oznacza to, że oś normalna wstęgi Möbiusa nie może być funkcją ciągłą na całej powierzchni wstęgi[14].

Jej brzeg jest homeomorficzny z okręgiem. Oznacza to, wstęga ma tylko jedną intuicyjnie rozumianą krawędź, w przeciwieństwie np. do powierzchni bocznej walca, która ma dwie krawędzie. „Zaklejenie” tego brzegu (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje płaszczyznę rzutową, „zaklejenie” tego brzegu inną wstęgą Möbiusa daje butelkę Kleina[16]. Płaszczyzna rzutowa i butelka Kleina są innymi przykładami powierzchni nieorientowalnej. Zachodzi ogólna własność: powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podzbiór homeomorficzny ze wstęgą Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0