|
|
Liczba e , znana również jako liczba Eulera , jest stałą matematyczną w przybliżeniu równą 2,71828, którą można scharakteryzować na wiele sposobów. Jest to podstawa logarytmów naturalnych . Jest to granica ( 1 + 1/ n ) n , gdy n zbliża się do nieskończoności, wyrażenie, które pojawia się w badaniu procentu składanego . Można go również obliczyć jako sumę nieskończonego szeregu
Wykres równania y = 1/ x . Tutaj e jest unikalną liczbą większą niż 1, która sprawia, że zacieniony obszar jest równy 1.
mi = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ . {\ Displaystyle e = \ suma \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n!}} = 1 + {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1 }{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}
{\ Displaystyle e = \ suma \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n!}} = 1 + {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1 }{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}
Jest to również unikalna liczba dodatnia a taka, że wykres funkcji y = a x ma nachylenie 1 przy x = 0 .
(naturalna) funkcja wykładnicza f ( x ) = e x jest unikalną funkcją f , która jest równa jej własnej pochodnej i spełnia równanie f (0) = 1 ; stąd można również zdefiniować e jako f (1) . Logarytm naturalny lub logarytm o podstawie e jest funkcją odwrotną do naturalnej funkcji wykładniczej. Logarytm naturalny liczby k > 1 można zdefiniować bezpośrednio jako pole pod krzywą y = 1/ x między x= 1 i x = k , w tym przypadku e jest wartością k , dla której ten obszar jest równy jeden (patrz rysunek). Istnieje wiele innych charakterystyk .
e jest czasami nazywane liczbą Eulera (nie mylić ze stałą Eulera) γ {\displaystyle \gamma} \gamma), według szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera , lub stała Napiera , według Johna Napiera . [1] Stała została odkryta przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego podczas badania procentu składanego. [2] [3]
Liczba e ma ogromne znaczenie w matematyce, [4] [ potrzebna strona ] obok 0, 1, π i i . Wszystkie pięć pojawiają się w jednym sformułowaniu tożsamości Eulera i odgrywają ważne i powtarzające się role w matematyce. [5] [6] Podobnie jak stała π , e jest irracjonalne (to znaczy nie może być reprezentowane jako stosunek liczb całkowitych) i transcendentalne (to znaczy nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o wymiernych współczynnikach). [1] Do 50 miejsc po przecinku wartość e wynosi:
2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (sekwencja A001113 w OEIS ).
|
Zablokowano
